Маркова Я.С. АКТУАЛЬНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
17.08.2020, 17:06
Аннотация: в данной статье поднимается вопрос актуальности применения математических знаний в повседневной жизни. Представлены рассуждения о развитии прикладной математики, а также о прикладных возможностях различных областей математики, о том, что они подвергается значительному изменению со временем. Рассмотрены возможные случаи применения свойств элементарных функций при решении физико-математических задач и других областей практической деятельности человека: задача непромытого «золотого песка», задача про прямоугольное окно, задача про мостовую ферму. Ключевые слова: прикладной характер, элементарные функции, ось координат, прогресс. Вопрос о важности знания математики в практической жизни человека всегда остается актуальным. Её влияние на задачи прикладного характера современного мира неразрывно связано со сложной и постоянно меняющейся обстановкой в мире. Обилие методов математического познания, богатейшие возможности современной математики для исследования процессов и явлений, а также их характеристик во времени – является только подтверждением вышеописанного. Нередко говорят о математике, что одни ее ветви — чисто теоретические, а другие — прикладные. В действительности, дело обстоит сложнее и представление о прикладных возможностях различных областей математики не остается неизменным, а подвергается значительному изменению со временем. До начала XVIII в. весь арсенал прикладной математики сводился лишь к простейшим правилам арифметики и началам геометрии. Резкое расширение средств прикладной математики принес XVIII в., когда трудами Ньютона и Лейбница были заложены основы дифференциального и интегрального исчислений. В начале XIX в. широкое применение нашла теория вероятностей, которая и в настоящее время является основным орудием математического исследования подавляющего большинства задач биологии, физики, экономики [1, с. 25]. Сказанное позволяет сделать заключение: в наше время трудно указать какую-либо ветвь математики, которая не находила бы применений в огромном разнообразии проблем практики. В данной статье предполагается на примерах практических задач рассмотреть возможные случаи применения свойств элементарных функций при решении задач физики и других областей практической деятельности человека. Задача 1. Непромытый «золотой песок» содержит k% чистого золота. После каждой промывки «золотого песка» отходят p% содержащихся в нем примесей и теряются q% имеющегося в нем золота. Сколько нужно сделать промывок, чтобы содержание чистого золота составило не менее r%? Решение: Пусть имеется Q кг «золотого песка», содержащего kQ/100 кг чистого золота и, следовательно, (1-kQ/100)кг примесей. После n промывок остается смесь, состоящая из (1-q/100)^n⋅kQ/100 кг чистого золота и (1-k/100)⋅(1-p/100)^n⋅Q кг примесей. Поскольку, по смыслу задачи r>k и p>q, то lg (100-q)/(100-p)>0 и lg (r(100-k))/(k(100-r))>0. Поэтому n≥(lg (r(100-k))/(k(100-r)))/(lg (100-q)/(100-p)). Задача 2. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света? Решение: Наибольшее количество света будет пропускаться при наибольшей площади окна. Обозначим АВ=х, AD=y. Тогда периметр фигуры равен Р= X+2Y+╰╯DMC= X+2Y+0,5πX. По условию, периметр равен 6м, следовательно X+2Y+0,5πX=6. Выразим отсюда, Y=((6-X-0,5πX))/2. Площадь окна найдем как S=AB⋅AD+(πX² 〖^〗)/8=X⋅Y+(πX² 〖^〗)/8=-(π+4)/8⋅x²+3x. Как известно, квадратный трехчлен будет иметь максимум при x_0=-b/2a=12/(π+4),y_0 (x_0)=6/(π+4). Ответ: Размеры окна: 12/(π+4)×6/(π+4). Задача 3. На рисунке изображена мостовая ферма, у которой линия ACB-дуга параболы с вершиной C. Длина пролета AB=2l. Стрела прогиба OC=h, пролет разделен на 2n равных частей. Определить длины вертикальных стоек y_1 и y_2. Расчет произвести при 2l=84м, h=12м, 2n=6. Решение: Расположим оси координат, как показано на рисунке. При этом, уравнение параболы будет таким: y=ax²+c, тогда длины отрезков y_1 и y_2 будут равны ординатам точек M_1 и M_2 соответственно. Так как AB=2l,а OA=OB,то OA=l и координата точки А будет такой: А(l;0), координата точки С будет такой С(0;h). Подставив обе координаты в уравнение параболы, получим y=-h/l² ⋅x²+h. Точка M_1 имеет абсциссу l/n, т.е.: y_1=-h/l² ⋅(l/n)〖²〗+h=-h/n² +h. Подставляем числовые значения h=12 и n=3: y_1=-12/9+12=10 2/3. Точка M_2 имеет абсциссу 2 l/n, т.е. y_2=-h/l² ⋅(2 l/n)〖²〗+h=-4h/n² +h. y_2=-(4⋅12)/9+12=7 2/3 Ответ: Высота стойки y_1=10 2/3 м, а высота стойки y_2=7 2/3 м [2, с. 45, 56, 70]. В качестве заключения можно сказать, что для прогресса науки исключительно важен тот тип математического творчества, который стремится познать математическими методами явления природы, умеет находить нужный для этого аппарат исследования. В настоящее время многие области науки и практической деятельности, до самого последнего времени находившиеся вдали от использования математических средств исследования, теперь стремятся наверстать упущенное. Причина этого заключается в том, что чисто качественного изучения явлений природы, экономики, организации производства зачастую является недостаточно. Для того, например, чтобы автоматизировать выплавку стали или крекинг нефти, необходимо знание точных количественных закономерностей, свойственных этим процессам. Поэтому автоматизация технологических процессов неизбежно приводит к использованию математики и заставляет, в свою очередь, математику обращать внимание на решение новых задач и на разработку новых методов исследования. Список литературы 1. Пиковер К. Великая математика. От Пифагора до 57-мерных объектов. 250 основных вех в истории математики / Клиффорд Пиковер. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2014. - 540 c. 2. Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. Примени математику. - Москва: Наука, 2007 – 240 с.
Категория: Smart Student Science — 2020
Просмотров: 25 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
avatar